Множества
Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел.
Элемент множества — это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈
. Запись
5∈Z
читается так: 5 принадлежит множеству Z
или 5 – элемент множества Z
.
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
L = {2, 4, 6, 8}
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.
Подмножество
Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂
:
L⊂M.
Запись L⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M
.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком =
.
Рассмотрим два множества:
L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}.
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.
Пересечение и объединение множеств
Пересечение двух множеств — это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩
.
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L∩M = {3, 11}.
Запись L∩M читается так: пересечение множеств L и M
.
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.
Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪
.
Например, если
L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},
то L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.
Запись L∪M читается так: объединение множеств L и M
.
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
если L = M, то L∪M = L и L∪M = M.